Question

若函数f（x）=mx2-2x+3只有一个零点，求实数m的取值范围

若函数f（x）=mx2-2x+3只有一个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

　　（1）当m=0时，f（x）=-2x+3与x轴只有一个交点，此时函数f（x）只有一个零点．
　　（2）当m≠0时，要使得f（x）=mx2-2x+3只有一个零点，则要△=（-2）2-4×3×m=0，此时m=1/ 3 ．综上所述，当m=0或m=1/3 时，函数f（x）=mx2-2x+3只有一个零点．
　　一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点（the zero of the function）。即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。函数的零点不是一个点，而是一个实数.
　　若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解。
　　一般结论：函数y=f（x）的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实数根，推出函数y=f(x)的图像与x轴有交点，推出函数y=f(x)有零点。
　　更一般的结论：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标，这个结论很有用。
　　函数零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。

Answer 2

（1）当m=0时，f（x）=-2x+3与x轴只有一个交点，此时函数f（x）只有一个零点．
（2）当m≠0时，要使得f（x）=mx²-2x+3只有一个零点，则要△=（-2）²-4×3×m=0，此时m=

1

3

．
综上所述，当m=0或m=

1

3

时，函数f（x）=mx²-2x+3只有一个零点．