Question

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（　　）A．443πB．484

正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（　　）A．443πB．4849πC．814πD．16π

Answer 1

如图，正四棱锥P-ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
∵底面边长为4，∴AE=2

2

，PE=6，
∴侧棱长PA=

PE2+AE2

=

62+(2 2 )2

＝

44

＝2

11

，PF=2R，
根据平面几何中的射影定理可得PA²=PF?PE，
即44=2R×6，解得R=

11

3

，
则S=4πR²=4π（

11

3

）²=

484

9

π，
故选：B