如图,已知正方形ABCD,直线AG分别交BD,CD于点E、F,交BC的延长线于点G,点H是线段FG上的点,且HC⊥CE,
如图,已知正方形ABCD,直线AG分别交BD,CD于点E、F,交BC的延长线于点G,点H是线段FG上的点,且HC⊥CE,(1)求证:点H是GF的中点;(2)设DEBE=x...
如图,已知正方形ABCD,直线AG分别交BD,CD于点E、F,交BC的延长线于点G,点H是线段FG上的点,且HC⊥CE,(1)求证:点H是GF的中点;(2)设DEBE=x(0<x<1),S△ECHS△GCF=y,请用含x的代数式表示y.
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解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BG,
∴∠DAG=∠AGB,
∵AD=DC,∠ADB=∠CDB,
∴△ADE≌△CDE,(SAS)
∴∠DAE=∠DCE,
∵∠ECD+∠DCH=90°,∠DCH+∠GCH=90°,
∴∠ECD=∠GCH,
∵∠DAG=∠BGA,∠DAE=∠DCE,
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC,
∴∠HCD=∠HFC,
∴FH=CH=GH,即H是GF的中点;
(2)解:过点E作EM⊥CD于M,则有y=
=
+
=
+
,
∵AD∥BG,
∴
=
,
∴
=
,
∴
=
,
又∵
=
=
,
∴
=
=
,
∴y=
+
=
.
∴AD∥BG,
∴∠DAG=∠AGB,
∵AD=DC,∠ADB=∠CDB,
∴△ADE≌△CDE,(SAS)
∴∠DAE=∠DCE,
∵∠ECD+∠DCH=90°,∠DCH+∠GCH=90°,
∴∠ECD=∠GCH,
∵∠DAG=∠BGA,∠DAE=∠DCE,
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC,
∴∠HCD=∠HFC,
∴FH=CH=GH,即H是GF的中点;
(2)解:过点E作EM⊥CD于M,则有y=
S△ECF+S△FCH |
S△FCG |
1 |
2 |
S△ECF |
S△FCG |
1 |
2 |
EM |
CG |
∵AD∥BG,
∴
DE |
EB |
AD |
BG |
∴
AD |
BG?AD |
DE |
BE?DE |
∴
AD |
CG |
x |
1?x |
又∵
EM |
BC |
DE |
BD |
x |
1+x |
∴
EM |
CG |
EM?AD |
BC?CG |
x2 |
1?x2 |
∴y=
1 |
2 |
x2 |
1?x2 |
1+x2 |
2(1?x2) |
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