Question

已知 x y z ∈R x²＋y²＋z²＝25 求解x-2y＋3z的最大值和最小值是多少？

Answer 1

　　解：设C=x-2y+3z

　　x-2y+3z=0 是过(0,0,0)的一个平面，其法向量=(1,-2,3)
　　x²＋y²＋z²＝25是以(0,0,0)为球心，半径为5的球面

　　当平面x-2y+3z=0 沿法向量=(1,-2,3)方向平移到某个位置时，
　　如果与球面有交点，则每一个交点代入C=x-2y+3z中所得的值相等。
　　当与球面相切时，其切点是最优解。

　　设直线L：过(0,0,0)且方向向量=(1,-2,3)。
　　P(t,-2t,3t)是其上一动点，当P在球面上时，得
　　t^2+(-2t)^2+(3t)^2=25 即t=-5/(√14) 或 t=5/(√14)

　　C=t-2(-2t)+3(3t)=14t

　　所以 当t=-5/(√14)时 C=x-2y+3z 有最小值 -5(√14)
　　 当t=5/(√14)时 C=x-2y+3z 有最大值 5(√14)

　　 希望对你有点帮助！