Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？

Answer 1

（1）EF⊥AB．
∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠FPQ=∠QPC+∠FPQ=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EPF=∠QPC=90°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF ∥ AB（同位角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；

（2）当点P为BC延长线上任意一点时，（1）结论成立．
证明：∵△PCF和△PQE都是等边三角形，
∴PF=PC，PE=PQ，
∠EPF+∠EPC=∠QPC+∠EPC=60°，
∴∠EPF=∠QPC，
∴△PFE≌△PCQ；
∴∠EFP=∠QCP=90°，
∴EF⊥PF；
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°；
又∵∠FPC=60°，
∴∠B=∠FPC，
∴PF ∥ AB（内错角相等，两直线平行），
∴EF⊥AB；

（3）要使（1）的结论依然成立，则需要添加条件是：∠CPF=∠B=∠QPE．
需要证明△PFE≌△PCQ、PF ∥ AB（内错角相等，两直线平行），才能证明EF⊥AB．