Question

（2011?舟山）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速

（2011?舟山）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k=﹣1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当 时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m） 2 +n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

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Answer 1

解：（1）①C（1，2），Q（2，0） ②由题意得：P（t，0），C（t，﹣t+3），Q（3﹣t，0） 分两种情况讨论： 情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3﹣t=t，∴t=1.5 情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，∵OA=OB=3∴△AOB是等腰直角三角形∴△ACQ也是等腰直角三角形∵CP⊥OA∴AQ=2CP，即t=2（﹣t+3）∴t=2∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒． （2）①由题意得：C（t，﹣ ） ∴以C为顶点的抛物线解析式是y= ，由 ， 解得 ． 过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90° ∵DE∥OA∴∠EDC=∠OAB ∴△DEC∽△AOB∴ ∵AO=4，AB=5，DE= ∴CD= ②∵ ，CD边上的高= ，∴ ，∴S △COD 为定值． 要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为 ，∠BCO=90° ∵∠AOB=90°∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA 又∵CP⊥OA∴Rt△PCO∽Rt△OAB ∴ ，OP= ，即t= ∴ ．

略