Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足 sinA+ 3 cosA=2 ．（1）求A的大小；

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足 sinA+ 3 cosA=2 ．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2； ② c= 3 b ；③B=45°．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）

Answer 1

（1）依题意得：sinA+ 3 cosA=2（ 1 2 sinA+ 3 2 cosA）=2sin（A+ π 3 ）=2， 即 sin(A+ π 3 )=1 ，（3分） ∵0＜A＜π， ∴ π 3 ＜A+ π 3 ＜ 4π 3 ， ∴ A+ π 3 = π 2 ， ∴ A= π 6 ；（5分） （2）方案一：选条件①和②，（6分） 由正弦定理 a sinA = b sinB ，得 b= a sinA sinB=2 2 ，（8分） ∵A+B+C=π，∴ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 2 + 6 4 ，（11分） ∴ S= 1 2 absinC= 1 2 ×2×2 2 × 2 + 6 4 = 3 +1 ．（13分） 方案二：选条件①和③，（6分） 由余弦定理b 2 +c 2 -2bccosA=a 2 ，有b 2 +3b 2 -3b 2 =4，则b=2， c=2 3 ，（10分） 所以 S= 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×2 3 × 1 2 = 3 ．（13分） 说明：若选条件②和③，由 c= 3 b 得， sinC= 3 sinB= 6 2 ＞1 ，不成立，这样的三角形不存在．