Question

（2006?锦州）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E．若AB=

（2006?锦州）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E．若AB=10，tan∠CAB=34，求线段BC和CD的长．

Answer 1

解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°．
∵tan∠CAB=

3

4

，
∴

BC

AC

＝

3

4

．
设AC=4k，BC=3k，
∵AC²+BC²=AB²，AB=10，
∴（4k）²+（3k）²=100．
∴k₁=2，k₂=-2（舍去）．
∴AC=8，BC=6．
过点D作DF⊥AB于F，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴CD=DF．
∵∠DFB=∠ACB=90°，∠DBF=∠ABC，
∴△DBF∽△ABC．
∴

DB

AB

＝

DF

AC

．
即

6?CD

10

＝

CD

8

．
∴CD=

8

3

．