Question

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x 2 =2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是 1 2 时

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x 2 =2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是 1 2 时， AC =4 AB ．（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

Answer 1

（1）设B（x 1 ，y 1 ），C（x 2 ，y 2 ），由已知k 1 = 1 2 时，l方程为y= 1 2 （x+4）即x=2y-4． 由 x 2 =2py x=2y-4 得2y 2 -（8+p）y+8=0 ①②∴ y 1 y 2 =4 y 1 + y 2 = 8+p 2 又∵ AC =4 AB ，∴y 2 =4y 1 ③ 由①②③及p＞0得：y 1 =1，y 2 =4，p=2，即抛物线方程为：x 2 =4y． （2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x 0 ，y 0 ） 由 x 2 =4y y=k(x+4) 得：x 2 -4kx-16k=0④ ∴ x 0 = x A + x B 2 =2k， y 0 =k( x 0 +4)=2 k 2 +4k ． ∴BC的中垂线方程为 y-2 k 2 -4k=- 1 k (x-2k) ∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k 2 +4k+2=2（k+1） 2 对于方程④由△=16k 2 +64k＞0得：k＞0或k＜-4． ∴b∈（2，+∞）