Question

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF∽△EFC吗？若相似，请证明

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？

Answer 1

∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC；
ABCD为矩形时，同理可得△AEF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AE

CD

=

EF

EC

，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
又∵∠A=∠CEF=90°，
∴△AEF∽△EFC．