Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对于任意的实数m，n，等式f（m+n）=f（m）+f（n）恒成立；②当x＞0时

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对于任意的实数m，n，等式f（m+n）=f（m）+f（n）恒成立；②当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-2．（1）判断函数f（x）在R上的奇偶性和单调性；（2）求函数f（x）在区间[-4，4]上的最值．

Answer 1

（1）函数为减函数，
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
又∵f（m+n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递减．
函数f（x）在是奇函数．
证明：令m=n=0代入条件，得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0
再令m=x，n=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数
（2）令m=n=1
得f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，
再令m=n=2
得f（4）=f（2）+f（2）=-4-4=-8，
∵f（x）是奇函数
∴f（-4）=-f（4）=8，
∵函数f（x）在R上单调递减．
∴函数f（x）在区间[-4，4]上的最大值为，8，最小值为-8．