Question

设数列{xn}满足x1=π2，xn+1=sinxn，n=1，2，3，…，（1）试证明此数列极限存在，并求出limn→∞xn；（2

设数列{xn}满足x1=π2，xn+1=sinxn，n=1，2，3，…，（1）试证明此数列极限存在，并求出limn→∞xn；（2）试求limn→∞(xn+1xn)1x2n．

Answer 1

（1）证明：由归纳假设知，0＜x_n≤1，n=1，2，3，…，
又x_n+1=sinx_n≤x_n，
由单调有界准则可知此数列极限存在；
令a＝

lim

n→∞

xn，则由x_n+1=sinx_n，得a=sina，
故

lim

n→∞

xn＝a＝0；
（2）解：∵

lim

n→∞

(

xn+1

xn

)

1

x 2 n

＝

lim

n→∞

(

sinxn

xn

)

1

x 2 n

=

lim

x→0

(

sinx

x

)

1

x2

＝e

lim

x→0

ln( sinx x )

x2

=e

lim

x→0

sinx?x

x3

＝e

lim

x→0

cosx?1

3x2

＝e?

1

6

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示