Question

选修 4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）解不

选修 4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）解不等式f（x）≥x2-2x．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=|x-2|-|x+1|=

3，x≤?1 ?2x+1，?1＜x＜2 ?3，x＞2

，------------------（3分）
又当-1＜x＜2时，-3＜-2x+1＜3，∴-3≤f（x）≤3-----------------------------------------------（5分）
∴若使f（x）≤a恒成立，应有a≥f_max（x），即a≥3
∴a的取值范围是：[3，+∞）
（Ⅱ）当x≤-1时，x²-2x≤3，∴-1≤x≤2，∴x=1；
当-1＜x＜2时，x²-2x≤-2x+1，∴-1≤x≤1，∴-1＜x≤1；
当x≥2时，x²-2x≤-3，无解；-------------------------（8分）
综合上述，不等式的解集为：[-1，1]．-------------------------（10分）