设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限limx→a+f(2x?a)x?a
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限limx→a+f(2x?a)x?a存在，证明：（1）在（a，b）内f（x）＞0；...
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限limx→a+f(2x?a)x?a存在，证明：（1）在（a，b）内f（x）＞0； （2）在（a，b）内存在点ξ，使b2?a2∫baf(x)dx＝2ξf(ξ)；（3）在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b2-a2）=2ξξ?a∫baf(x)dx．
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（1）因为极限
存在，故
f(2x?a)＝f(a)＝0
又f'（x）＞0，于是f（x）在（a，b）内单调增加，故f（x）＞f（a）=0，x∈（a，b）；
（2）设F（x）=x2，g(x)＝
f(t)dt，a≤x≤b，则g'（x）=f（x）＞0，故F（x），g（x）满足柯西中值定理的条件，于是在（a，b）内存在点ξ，使
＝
=
=
＝
|x＝ξ=
，
即
＝
；
（3）因f（ξ）=f（ξ）-0=f（ξ）-f（a），在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在（a，ξ）内存在一点η，使f（ξ）=f'（η）（ξ-a），
从而由（2）的结论得
＝
=
，
即在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b2-a2）=
f(x)dx．
| lim |
| x→a+ |
| f(2x?a) |
| x?a |
| lim |
| x→a+ |
又f'（x）＞0，于是f（x）在（a，b）内单调增加，故f（x）＞f（a）=0，x∈（a，b）；
（2）设F（x）=x2，g(x)＝
| ∫ | x a |
| F(b)?F(a) |
| g(b)?g(a) |
| b2?a2 | ||||
|
| b2?a2 | ||
|
| F′(x) |
| g′(x) |
| 2x |
| f(x) |
| 2ξ |
| f(ξ) |
即
| b2?a2 | ||
|
| 2ξ |
| f(ξ) |
（3）因f（ξ）=f（ξ）-0=f（ξ）-f（a），在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在（a，ξ）内存在一点η，使f（ξ）=f'（η）（ξ-a），
从而由（2）的结论得
| b2?a2 | ||
|
| 2ξ |
| f(ξ) |
| 2ξ |
| f′(η)(ξ?a) |
即在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b2-a2）=
| b a |
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