Question

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限limx→a+f(2x?a)x?a

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）＞0．若极限limx→a+f(2x?a)x?a存在，证明：（1）在（a，b）内f（x）＞0； （2）在（a，b）内存在点ξ，使b2?a2∫baf(x)dx＝2ξf(ξ)；（3）在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b2-a2）=2ξξ?a∫baf(x)dx．

Answer 1

（1）因为极限

lim

x→a+

f(2x?a)

x?a

存在，故

lim

x→a+

f(2x?a)＝f(a)＝0 
又f'（x）＞0，于是f（x）在（a，b）内单调增加，故f（x）＞f（a）=0，x∈（a，b）；
（2）设F（x）=x²，g(x)＝

∫

x a

f(t)dt，a≤x≤b，则g'（x）=f（x）＞0，故F（x），g（x）满足柯西中值定理的条件，于是在（a，b）内存在点ξ，使

F(b)?F(a)

g(b)?g(a)

＝

b2?a2

∫ b a f(t)dt? ∫  a a f(t)dt

=

b2?a2

∫ b a f(t)dt

=

F′(x)

g′(x)

＝

2x

f(x)

|x＝ξ=

2ξ

f(ξ)

，
即

b2?a2

∫ b a f(x)dx

＝

2ξ

f(ξ)

；
（3）因f（ξ）=f（ξ）-0=f（ξ）-f（a），在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在（a，ξ）内存在一点η，使f（ξ）=f'（η）（ξ-a），
从而由（2）的结论得

b2?a2

∫ b a f(x)dx

＝

2ξ

f(ξ)

=

2ξ

f′(η)(ξ?a)

，
即在（a，b） 内存在与（2）中ξ相异的点η，使f′（η）（b²-a²）=

2ξ ξ?a ∫

b a

f(x)dx．