Question

定义在R上的函数f（x）满足①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（

定义在R上的函数f（x）满足①对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）②当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（1）求f（0）值；（2）判断函数f（x）奇偶性；（3）判断函数f（x）的单调性；（4）解不等式f（x 2 -2x）-f（x）≥-8．

Answer 1

∵对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y） （1）取x=y=0，可得f（0）=0， （2）取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0， 所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数 （3）任取x 1 ＜x 2 ， 则 x 2 -x 1 ＞0 ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 2 ）+f（-x 1 ）=f（x 2 -x 1 ） 又∵当x＞0时，f（x）＜0， f（x 2 ）-f（x 1 ）＜0， 可得 f（x 1 ）＞f（x 2 ）， 所以f（x） 在R上是减函数  （4）∵f（1）=-2 ∴f（2）=f（1）+f（1）=-4， f（4）=f（2）+f（2）=-8 ∴不等式f（x 2 -2x）-f（x）≥-8 可化为f（x 2 -2x）-f（x）≥f（4） 即f（x 2 -2x）≥f（x）+f（4） 即x 2 -2x≤x+4 即x 2 -3x-4≤0 解得-1≤x≤4 故不等式f（x 2 -2x）-f（x）≥-8的解集为[-1，4]