Question

（本小题满分12分）设函数 f ( x )= ax+ ( a , b ∈Z)，曲线 y = f ( x )在点（2， f (2)）处的切线方

（本小题满分12分）设函数 f ( x )= ax+ ( a , b ∈Z)，曲线 y = f ( x )在点（2， f (2)）处的切线方程为 y =3。（Ⅰ）求 f ( x )的解析式：（Ⅱ）证明：函数 y = f ( x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线 y=f ( x )上任一点的切线与直线 x =1和直线 y = x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析。 （Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ） ， 于是 。 解得 或 。 因 ，故 。 （II）证明：已知函数 都是奇函数， 所以函数 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。 而函数 。 可知，函数 的图像按向量 a =(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数 的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。 （III）证明：在曲线上任一点 。 由 知,过此点的切线方程为 。 令 得 ，切线与直线 交点为 。 令 得 ，切线与直线 交点为 。 直线 与直线 的交点为(1,1)。 从而所围三角形的面积为 。 所以，所围三角形的面积为定值2。