Question

已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axnxn+1（a为常数）．（1）若对于任意的x1≠-1，有xn+2=xn对于任意的n∈

已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=axnxn+1（a为常数）．（1）若对于任意的x1≠-1，有xn+2=xn对于任意的n∈N*都成立，求a的值；（2）当a=1时，若x1＞0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当a确定后，数列{xn}由其首项x1确定，当a=2时，通过对数列{xn}的探究，写出“{xn}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

（1）∵x_n+2=

axn+1

xn+1+1

=

a? axn xn+1

axn xn+1 + 1

=

a2xn

axn+xn+1

=x_n
∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，当n=1时，由x₁的任意性得

a2＝1 a+1＝0

，∴a=-1．
（2）数列{x_n}是递减数列．
∵x₁＞0.xn+1＝

xn

xn+1

∴x_n＞0，n∈N^*又x_n+1-x_n=

xn

xn+1

-x_n=-

x 2 n

xn+1

＜0，n∈N^*，
故数列{x_n}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{x_n}满足x_n+1=

2xn

xn+1

，若x₁=-

1

7

，则{x_n}是有穷数列．