Question

已知函数f（x）=ax2-ex（a∈R）．（1）若f′（x）为函数f（x的导函数，求函数F（x）=f′(x)x的极值；（2

已知函数f（x）=ax2-ex（a∈R）．（1）若f′（x）为函数f（x的导函数，求函数F（x）=f′(x)x的极值；（2）若a=1，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）f′(x)＝2ax?ex，F(x)＝2a?

ex

x

，F′(x)＝?

ex(x?1)

x2

解F′（x）＞0得x＜0或0＜x＜1，
解F′（x）＜0得x＞1，
∴F′（x）=0时x=1；
F_极大（x）=F（1）=a-e，
F（x）没有极小值．
（2）方法一：a=1时，F(x)＝

f′(x)

x

＝2?

ex

x

，
当x＜0时?

ex

x

＞0，所以F(x)＝

f′(x)

x

＝2?

ex

x

＞0，
所以f′（x）＜0，f（x）在（-∞，0）递减；
当x＞0时，由（1）知F（x）≤F（1）=2-e＜0，
即F(x)＝

f′(x)

x

＜0，
所以f′（x）＜0，
f（x）在（0，+∞）递减；
又函数f（x）在x=0连续，
所以函数函数f（x）在（-∞，+∞）递减．
方法二：a=1时，
f′（x）=2x-e^x，
f″（x）=2-e^x，
f″（x）＞0时，x＜ln2；
f″（x）＜0时，x＞ln2；
∴f′（x）在区间（-∞，ln2）递增，在区间（ln2，+∞）递减；
∴f′（x）_max=f′（ln2）=2（ln2-1）＜0，
即f′（x）＜0在R上恒成立，
所以f（x）在（-∞，+∞）递减．