（2012?河东区一模）如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的
（2012?河东区一模）如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．（Ⅰ）求证：...
（2012?河东区一模）如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．（Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP；（Ⅱ）求二面角A-SD-P的余弦的大小．
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解：（Ⅰ）证明：因为SA⊥底面ABCD，所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角（1分）
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=
| 2 |
又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以AP⊥PD．（4分）
因为SA⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，
所以SA⊥PD，（5分）
由于SA∩AP=A所以PD⊥平面SAP．（6分）
（Ⅱ）设Q为AD的中点，连接PQ，（7分）
由于SA⊥底面ABCD，且SA?平面SAD，
则平面SAD⊥平面PAD（8分）
∵PQ⊥AD，∴PQ⊥平面SAD，∵SD?平面SAD，∴PQ⊥SD．
过Q作QR⊥SD，垂足为R，连接PR，则SD⊥面QPR．
又PR?面QPR，∴SD⊥PR，∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．（10分）
容易证明△DRQ∽△DAS，则
| QR |
| SA |
| DQ |
| SD |
因为DQ=1，SA=1，SD=
| 5 |
所以QR＝
| DQ |
| SD |
| 1 | ||
|
在Rt△PRQ中，因为PQ=AB=1，PR＝
| QR2+PQ2 |
| ||
| 5 |
所以cos∠PRQ＝
| RQ |
| PR |
| ||
| 6 |
所以二面角A-SD-P的余弦为
