Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，若MN是经过点C的直线，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求证：DE=AD+B

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC，若MN是经过点C的直线，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求证：DE=AD+BE．（2）若将MN绕C旋转，使MN与AB相交，其他条件都不变，AD与CE边相等吗？（见图2）．（3）在图2中，证明AD、BE和DE有何关系？直接写出答案．

Answer 1

（1）证明：AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，

∠ADC＝∠BEC ∠DAC＝∠ECB AC＝BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，AD=CE，
∴DE=DC+CE=AD+BE．

（2）解：AD=CE，
理由是：AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中

∠ADC＝∠BEC ∠DAC＝∠ECB AC＝BC

∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE；

（3）DE=AD-BE，
证明：∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．