Question

如图，已知抛物线，y=ax2+bx+c（a≠0）y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，23），且与y轴交于点C，与x轴

如图，已知抛物线，y=ax2+bx+c（a≠0）y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，23），且与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），且A点坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式及B点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值；若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M与直线CE相切于点E，CE交x轴点D，求直线CE的解析式．

Answer 1

（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+

2

3

（a≠0）
∵抛物线经过（2，0）
∴a（2-4）²+

2

3

=0
解得：a=-

1

6

∴y=-

1

6

（x-4）²+

2

3

，
即：y=-

1

6

x²+

4

3

x-2，
当y=0时，0=-

1

6

x²+

4

3

x-2，
解得：x=2或x=6
∴B（6，0）；

（2）存在，
如图1，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，
因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小
∵B（6，0），C（0，2）
∴OB=6，OC=2
∴BC=2

10

，
∴AP+CP=BC=2

10

∴AP+CP的最小值为2

10

；

（3）如备用图，连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE，∠CEM=90°
由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中

∠COD＝∠MED ∠ODC＝∠EDM OC＝ME

∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM-OD=4-x
则Rt△COD中，OD²+OC²=CD²，
∴x²+2²=（4-x