Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证△

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证△ABC是等边三角形；（2）若AE=1，求半圆O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD；
∵DE是圆的切线，
∴OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC；
∵AB=AC，
∴BD=OD；
又∵OD=OB，
∴OB=OD=BD，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠B=60°；
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．

（2）解：连接CD，则
CD⊥AB，
∴BD=AD=OB，
在直角△ADE中，
∠A=60°，
∴AD=2AE=2，
∴OB=AD=2．