Question

设23＜a＜1，函数f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为-62，求常数a，b

设23＜a＜1，函数f(x)=x3-32ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1，最小值为-62，求常数a，b．

Answer 1

f′（x）=3x（x-a）当x变化时，列表如下：

x	-1	（-1，0）	0	（0，a）	a	（a，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-1- 3 2 a+b		b		- a3 2 +b		1- 3 2 a+b

当x=0时，f（x）取极大值b，而f（0）＞f（a），f（-1）＜f（1），故需比较f（0）与f（1）的大小．
∵f(0)-f(1)=

3

2

a-1＞0，∴f（x）最大值为f（0）=b=1．
又 f(-1)-f(a)=

1

2

(a+1)2(a-2)＜0，∴f（x）_min=f（-1），∴a=

6

3

，
综上知a=

6

3

，b=1