Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列，（1）求数列{an}的通项公

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2an+1an+2，求数列{bn}的前n项和为Tn，并证明：16≤Tn＜13．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a_n=a₁+（n-1）d，（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）…（4分）
整理：3d²=6a₁d（d＞0），∴d=2a₁=2，∴a_n=1+（n-1）2=2n-1．
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）…（7分）
（2）b_n=

2

an+1?an+2

=

2

(2n+3)(2n+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

   …（9分）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

  …（10分）
=

1

3

-

1

2n+3

＜

1

3

…（12分）
∵T_n+1-T_n=b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

＞0，数列{T_n}是递增数列．∴T_n≥T₁=

1

6

．  …（13分）
∴

1

6

≤T_n＜

1

3

．  …（14分）