Question

第二十题，使用导数解体，答案是4.5,其过程谢谢。

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Answer 1

20,围栏高1.5米，围栏后面有墙，墙和围栏之间的距离是1米。
围栏前有梯子，梯子底端挨着地面，顶端挨着墙，同时靠在围栏上。
问，梯子的最小长度。
设梯子底端与围栏之间的距离为x米，梯子的长度为y。
则，
x/[x^2 + (3/2)^2]^(1/2) = (x+1)/y,

y = (x+1)(x^2 + 9/4)^(1/2)/x
= (x^2 + 9/4)^(1/2) + (x^2+9/4)^(1/2)/x , x>0.

y' = x/(x^2 + 9/4)^(1/2) + 1/(x^2 + 9/4)^(1/2) - (x^2 + 9/4)^(1/2)/x^2
= [x^3 + x^2 - (x^2 + 9/4)]/[x^2(x^2 + 9/4)^(1/2)]
= (x^3 - 9/4)/[x^2(x^2 + 9/4)^(1/2)]

0<x<(9/4)^(1/3)时，y' <0, y单调递减。
x>(9/4)^(1/3)时，y'>0, y单调递增。
因此，在x = (9/4)^(1/3)时，y取得最小值。
此时，
最小值y = [(9/4)^(1/3) + 1][(9/4)^(2/3) +9/4]^(1/2)/(9/4)^(1/3)
= [1 + (4/9)^(1/3)](9/4)^(1/2)[(4/9)^(1/3) + 1]^(1/2)
= (3/2)[1 + (4/9)^(1/3)]^(3/2)
= (3/2)[1 + (2/3)^(2/3)]^(3/2)

追问

非常谢谢你的答案，其实我自己的和你的答案，以及上面一位朋友的答案都是一样的，都是3.5,但其实书上写的是4.5,不过还是谢了。

追答

很遗憾提交晚了。。很高兴我们答案一致。。
应该是原文答案错了。。
祝万事如意！

追问

好的谢谢