Question

抛物线y^2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点 （1）若AF=2FB，求直线AB的

抛物线y^2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点
（1）若AF=2FB，求直线AB的斜率。
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值。

Answer 1

由题意得到F(1,0),则设AB方程是x=my+1

代入到y^2=4x,
y^2-4my-4=0
y1+y2=4m,y1y2=-4.
因为向量AF=2FB,得到(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),即有y1=-2y2
代入到上面得到y2=土根号2,则有y1=(-/+)2根号2
故有m=土根号2/4
即AB的斜率k=1/m=土2根号2.
(ii)C和O关于M对称,则有M是OC中点,则有O,C到AB的距离相等.
故有S(OACB)=2S(AOB)=2*1/2OF*|Y1-Y2|=根号[(Y1+Y2)^2-Y1Y2]=4根号(1+m^2)
故当m=0时,面积有最小值是:4