Question

已知函数f（x）=x²＋2x＋a/x,x∈[1,＋∞）

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已知函数f（x）＝x²＋2x＋a／x，x∈[1，＋∞）知函数f（x）＝x²＋2x＋a／x，x∈[1，＋∞）。⑴当a=1／2时，判断并证明fx的单调性；⑵当a=－1时，求函数f（x）的最小值

Answer 1

⑴当a=1／2时，f（x）=x^2+2x+1/2x在x∈[1，＋∞）时单调递增的。
证：令x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=x1^2+2x1+1/2x1-x2^2+2x2-1/2x2
=(x1+x2)(x1-x2)+2(x1-x2)+(x2-x1)/2x1x2
=(x1+x2)(x1-x2)+(4x1x2-1)(x1-x2)/2x1x2
x1-x2>0
x1x2>1,即4x1x2>1
所以f(x1)-f(x2)>0
所以在x∈[1，＋∞）时单调递增的。

2、a=-1，则f（x）=x^2+2x-1/x
可以通过上面的方法知道a=-1时，x∈[1，＋∞）时也是单调递增的
所以f（x）min=f（1）=1+2-1=2

Answer 2

单调递增。简单地说，将a=1／2代入原式，因为x∈[1，＋∞），你就分别代x=1,2时，可得出f(1)<f(2),因此是单调递增。（2）因为a=-1时，函数是单调递增，所以x=1时有最小值，最小值是2。

Answer 3

对函数求导 之后的出来的结果是 恒大于0 所以递增
最后 同理证明 也是单调递增 所有x=1 是f(x)有最小值

Answer 4

(1)单调递增，在定义域上任设X1 X2，且x1<x2.则代入原式有fx1 fx2.用fx1-fx2.得(x1-x2)*[x1+x2+2-1/(2x1x2)] 可得该式的值小于零所以单调递增 (2)同理可证该式单调递增所以F1为最小值