Question

行列式的计算

问下大家，在行列式的计算过程中，我们都需要来化简它的结构，让其形成上下三角行列式，便于计算，请问下，在化简过程中，如果我首先进行了行与行之间的运算，例如，第一行的两倍加到第二行，让D形成D1。那么我在D1的基础上能不能再进行列于列之间的计算，例如第三列加到第一列。这样对吗？还是如果第一步进行的是列变换，之后都要列变换？行列式大家有比较好的思路吗？我老是错。谢谢啦！

Answer 1

行之间怎么变都行，但有一个规律：
1。先大致看一下，行与行变换，尽量使得（第一行第一个不是零，第二行第一个为零，第三行前两个为零......）假设换好后第一行第一个数为A1，第二行第一个为B1，依次......
2。第二行减去第一行的B1/A1倍。那样第二行第一个数就会变为零，第三行减去第一行的C1/A1倍，第三行第一个数为零。依次......第二步完成后，第2,3,4.......行第一个数都可以变为零，假设现在每行第二个数为A2,B2,C2......
3。前两步完成后第1,2行都完成了，再第三行减去第二行的C2/B2倍，第四行减去第二行的D2/B2倍。依次......完成后，第3,4，......行第3个数都为零。就这样一直下去，就完成了上三角行列式！（期间也有很简便的，要看你熟悉后灵活运用了。）

来和举例：
|3 3 2 1|
|0 1 2 2|
|1 2 0 3|
|4 0 2 1|
原式=（r4-r1）（这里1,4行都有2,1减去方便后面计算。）
3 3 2 1
0 1 2 2
1 2 0 3
1-3 0 0
=(变换行顺序) （第一步，第1行第一个不是零，第2行...）
1 2 0 3
0 1 2 2
1-3 0 0
3 3 2 1
=（r3-r1,r4-3r1） （第2步，使B1,C1,D1...都变成零）
1 2 0 3
0 1 2 2
0 -5 0 -3
0 -3 2 -9
=(r3+5r2,r4+3r2) （第3步，使C2,D2,E2...都变成零）
1 2 0 3
0 1 2 2
0 0 10 7
0 0 8 -3
=( r4-(4/5)r3 ) （第4步，使D3,E3,F3...都变成零）
1 2 0 3
0 1 2 2
0 0 10 7
0 0 0 (-43/5)
=1×1×10×(-43/5)=-86
（变化好后对角元素为特征值，他们的乘积就是行列式）

Answer 2

是绝对可以的。。。为什么呢？证明：经过一次行变换成为D1，则D1=D。
而D1进行一次列变换成为D2，所以D1=D2。则D2=D，所以是可以的。

Answer 3

Answer 4

Answer 5