Question

已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤ inx

已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤ inx x+1 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分） （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， f ′ (x)= 1-ax x ， 若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（2分） 若a＞0，则由f′（x）=0，得x= 1 a ， 当x∈（0， 1 a ）时，f′（x）＞0， 当x∈（ 1 a ，+∞ ）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0， 1 a ）上单调递增，在（ 1 a ，+∞）单调递减． 所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（0， 1 a ）上单调递增，在（ 1 a ，+∞）单调递减．…（4分） （Ⅱ）f（x）- lnx x+1 = xlnx-a( x 2 -1) x+1 ， 令g（x）=xlnx-a（x 2 -1），（x≥1）， g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax， F ′ (x)= 1-2ax x ，…（6分） ①或a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增， g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0， ∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0， 从而f（x）- lnx x+1 ≥0 不符合题意．…（8分） ②若0＜a＜ 1 2 ，当x∈（1， 1 2a ），F′（x）＞0， ∴g′（x）在（1， 1 2a ）递增， 从而g′（x）＞g′（1）=1-2a， ∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0， 从而f（x）- lnx x+1 ≥0 不符合题意．…（10分） ③若a ≥ 1 2 ，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立， ∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0， 从而g9x）在[1，+∞）递减， ∴g（x）≤g（1）=0，f（x）- lnx x+1 ≤0， 综上所述，a的取值范围是[ 1 2 ，+∞ ）．…（12分）