Question

已知函数f（x）=x 3 +mx 2 -m 2 x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9，求m的值及f（x）的极小值

已知函数f（x）=x 3 +mx 2 -m 2 x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9，求m的值及f（x）的极小值．

Answer 1

求导函数f′（x）=3x 2 +2mx-m 2 =（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x= 1 3 m， 当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表： 从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值，当x= 1 3 m时，有极小值 ∵函数f（x）取得极大值9， ∴f（-m）=-m 3 +m 3 +m 3 +1=9，解得m=2． ∴函数的解析式为f（x）=x 3 +2x 2 -4x+1 当x= 1 3 m时，有极小值 f( m 3 )=- 13 27 ．