Question

已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上．（1）求圆C的标准方程．（2

已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上．（1）求圆C的标准方程．（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程；（3）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

（1）设圆C的标准方程为：（x-a） 2 +（y-b） 2 =r 2 ， 由题意列方程组， (-3-a) 2 + b 2 = r 2   (1-a) 2 + b 2 = r 2     b=a+1 ，解得，a=-1，b=0，r=2 ∴所求圆的方程为：（x+1） 2 +y 2 =4 （2）设N（x 1 ，y 1 ），G（x，y）， ∵线段MN的中点是G， ∴由中点公式得 x 1 +3 2 =x y 1 +4 2 =y ? x 1 =2x-3 y 1 =2y-4 ∵N在圆C上，∴（2x-2） 2 +（2y-4） 2 =4， 即（x-1） 2 +（y-2） 2 =1， ∴点G的轨迹方程是（x-1） 2 +（y-2） 2 =1． （3）设存在这样的直线l，并设直线方程为：y=x+b 由 (x+1 ) 2 + y 2 =4 y=x+b ?2 x 2 +(2b+2)x+ b 2 -3=0? x 1 x 2 = b 2 -3 2 ① 且 △=4(b+1 ) 2 -8( b 2 -3)＞0?1- 2 ＜b＜1+ 2 同理可得： y 1 y 2 = (b-1) 2 -4 2 ②； ∵以PQ为直径的圆过原点O， ∴OP⊥OQ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0，把①②代入化简得，b 2 -b-3=0 解得， b= 1± 13 2 ； ∴经检验存在两条这样的直线l： y=x+ 1± 13 2