Question

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax 2 +c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16）

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax 2 +c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
（1）求拋物线的函数表达式；（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）。设点A的坐标为（m，n）（m>0）。①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；③当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由拋物线y=ax 2 +c经过点E（0，16）、F（16，0）得： ，解得a=- ，c=16， ∴y=- x 2 +16； （2）①过点P做PG⊥x轴于点G， ∵PO=PF， ∴OG=FG， ∵F（16，0）， ∴OF=16， ∴OG= OF= ×16=8，即P点的横坐标为8， ∵P点在拋物线上， ∴y=- ×8 2 +16=12，即P点的纵坐标为12， ∴P（8，12）， ∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16， ∴Q点的纵坐标为-4， ∵Q点在拋物线上， ∴-4=- x 2 +16， ∴x 1 = ，x 2 =- ， ∵m>0， ∴x 2 =- （舍去）， ∴x= ， ∴Q（ ，-4）； ② -16<m<8; ③不存在； 理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7， ∵P点在抛物线上，∴7= ， ∴x 1 =12，x 2 =-12， ∵m>0，∴x 2 =-12（舍去）， ∴x=12， ∴P点坐标为（12，7）， ∵P为AB中点， ∴AP= AB=8， ∴点A的坐标是（4，7）， ∴m=4， 又∵正方形ABCD边长是16， ∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，-9）， ∴点Q的纵坐标为-9， ∵Q点在拋物线上， ∴-9=- x 2 +16， ∴x 1 =20，x 2 =-20， ∵m>0， ∴x 2 =-20（舍去），x=20， ∴Q点坐标（20，-9）， ∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾， ∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。