Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．（1）请用尺规作

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q 坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)作图见解析；（2）点P坐标为（1，-1）．（3）⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．

试题分析：（1）作出AC与BC线段垂直平分线得出交点即为圆心，进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可； （2）过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE，在Rt△BPD中，BP 2 =x 2 +3 2 ，在Rt△CEP中，CP 2 =（x+2） 2 +1 2 ，由BP=CP，求出x的值，即可得出P点坐标； （3）利用相似三角形的判定得出△Q 1 BC∽△ACO，进而结合圆周角定理得出Q点坐标． （1）如图1所示： （2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE． ∵PD⊥AB，∴AD=BD=3． ∵OB=4，∴OD=OB-BD=1． ∴PE=OD=1． 设DP=x，则OE=PD=x． 在Rt△BPD中，BP 2 =x 2 +3 2 ． 在Rt△CEP中，CP 2 =（x+2） 2 +1 2 ． ∵BP=CP， ∴x 2 +3 2 =（x+2） 2 +1 2 ． 解得：x=1． ∴点P坐标为（1，-1）．   （3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q 1 ，连接CQ 1 ， 则BQ 1 是直径， ∴∠Q 1 CB=90°， 又∵∠CAB=∠CQ 1 B， ∴△Q 1 BC∽△ACO， 此时连接AQ 1 则∠Q 1 AB=90°， ∴Q 1 横坐标为：-2， ∵AB=6，BQ 1 =2BP=2 ， ∴AQ 1 =2， ∴Q 1 （-2，-2）， 同理构造直角三角形CFQ 2 ， 可得出：CF=6，CQ 2 =2 ， ∴FQ 2 =2，FO=4， 则Q 2 （2，-4）， 综上所述：⊙P上存在一点Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC与△AOC相似．