Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cosBcosC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=27，△A

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B-C）+1=4cosBcosC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=27，△ABC的面积为23，求b+c．

Answer 1

（Ⅰ）∵2cos（B-C）+1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC-sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=

1

2

．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=

π

3

．
∴A=π-（B+C）=

2π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=

2π

3

．
∵S_△ABC=2

3

，∴

1

2

bcsin

2π

3

=2

3

，解得bc=8．   ①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
（2

7

）²=b²+c²-2bccos

2π

3

，即b²+c²+bc=28，
∴（b+c）²-bc=28．                         ②
将①代入②，得（b+c）²-8=28，
∴（b+c）²=36，可得b+c=6．…（12分）