Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

Answer 1

（Ⅰ）连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知， △BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD, 所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，所以 PA⊥BE,因此BE⊥平面PAB.又 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB. 解: （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF. 过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE. 在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°， 所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG. 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得， PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中， 所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

略