Question

如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f

如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=ex+x；②y=x2；③y=3x-sinx；④f（x）=ln|x| x≠00 x＝0．以上函数是“H函数”的所有序号为______．

Answer 1

∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①y=e^x+x为增函数，满足条件．
②函数y=x²在定义域上不单调．不满足条件．
③y=3x-sinx，y′=3-cosx＞0，函数单调递增，满足条件．
④f（x）=

ln|x|x≠0 0x＝0

．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．
综上满足“H函数”的函数为①③，
故答案为：①③