(2011?卢湾区一模)如图,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与A、C重合),DE与AB相交于
(2011?卢湾区一模)如图,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与A、C重合),DE与AB相交于点F.(1)求证:△BCD∽△DAF;(2)若BC=...
(2011?卢湾区一模)如图,已知△ABC与△BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与A、C重合),DE与AB相交于点F.(1)求证:△BCD∽△DAF;(2)若BC=1,设CD=x,AF=y;①求y关于x的函数解析式及定义域;②当x为何值时,S△BEFS△BCD=79?
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(1)证明:∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴∠A=∠C=∠BDE=60°,
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC,
∴∠ADF=∠DBC,
∴△BCD∽△DAF.
(2)①解:∵△BCD∽△DAF,
∴
=
,
∵BC=1,设CD=x,AF=y,
∴
=
,
∴y=x-x2(0<x<1).
②解:解法一:∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴∠E=∠C=60°,∠EBD=∠CBA=60°,
∴∠EBF=∠CBD,
∴△EBF∽△CBD,
∴
=
,
∴BE?BD=BF?BC
∵BE=BD,
∴BE2=BF?BC,
BC=1,
∴BE2=BF,
∵△EBF∽△CBD,
=
,
∴
=
=
,
∴BE2=
?BC2=
,
∴AF=
,
∴x?x2=
,
解得x1=
,x2=
,
∴当x=
或
时,
=
.
解法二:∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴∠E=∠C=60°,∠EBD=∠CBA=60°,
∴∠EBF=∠CBD,
∴△EBF∽△CBD,
∵
=
,
∴
=
∴∠A=∠C=∠BDE=60°,
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC,
∴∠ADF=∠DBC,
∴△BCD∽△DAF.
(2)①解:∵△BCD∽△DAF,
∴
BC |
AD |
CD |
AF |
∵BC=1,设CD=x,AF=y,
∴
1 |
1?x |
x |
y |
∴y=x-x2(0<x<1).
②解:解法一:∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴∠E=∠C=60°,∠EBD=∠CBA=60°,
∴∠EBF=∠CBD,
∴△EBF∽△CBD,
∴
BE |
BC |
BF |
BD |
∴BE?BD=BF?BC
∵BE=BD,
∴BE2=BF?BC,
BC=1,
∴BE2=BF,
∵△EBF∽△CBD,
S△BEF |
S△BCD |
7 |
9 |
∴
S△BEF |
S△BCD |
BE2 |
BC2 |
7 |
9 |
∴BE2=
7 |
9 |
7 |
9 |
∴AF=
2 |
9 |
∴x?x2=
2 |
9 |
解得x1=
2 |
3 |
1 |
3 |
∴当x=
1 |
3 |
2 |
3 |
S△BEF |
S△BCD |
7 |
9 |
解法二:∵△ABC与△BDE都是等边三角形,
∴∠E=∠C=60°,∠EBD=∠CBA=60°,
∴∠EBF=∠CBD,
∴△EBF∽△CBD,
∵
S△BEF |
S△BCD |
7 |
9 |
∴
S△BEF |
S△BCD |
BE<
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