Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．动点P、Q分别从点D、B同时出发，点P以2cm/s的速度自点D沿DB方向作

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．动点P、Q分别从点D、B同时出发，点P以2cm/s的速度自点D沿DB方向作移动，点Q以1cm/s的速度自点B沿BC方向移动，设P、Q移动的时间为t秒（0＜t＜52）．（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？（2）是否存在t值，使S△PBQ=13S△CPD．请你判断，并说明理由．

Answer 1

（1）作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，
∴∠PMB=∠PMC=∠PND=∠PNC=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴CD=3，AD=4．
∴在Rt△BCD中，由于勾股定理，得
BD=5．
∴sin∠DBC=

3

5

，cos∠BDC=

4

5

．
∵BQ=t，DP=2t，
∴PB=5-2t．
∴PM=

3

5

（5-2t）．PN=

8

5

t．
∵S=

1

2

BQ?PM=

1

2

t?

3

5

(5?2t)=-

3

5

t²+

3

2

t=-

3

5

（t-

5

4

）²+

15

16

（0＜t＜

5

2

）．
∴当t=

5

4

s时，S最大=

15

16

cm²．

（2）∵要使S_△PBQ=

1

3

S_△CPD，
∴-

3

5

t²+

3

2

t=

1

3

×

1

2

×3×

8

5

t，
∴6t²-7t=0
∴t₁=0，t₂=

7

6

．
∵0＜t＜

5

2

，
∴存在t值，当t=

7

6

s时，S_△PBQ=

1

3

S_△CPD．