Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，AE、AF分别于BD相交于点M、N，（1）求证：BM2+D

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，AE、AF分别于BD相交于点M、N，（1）求证：BM2+DN2=MN2；（2）求证：△CEF周长为定值．

Answer 1

解答：证明：如图，

延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在RT△ABG和RT△ADF中，

AB＝AD ∠ABG＝∠ADF＝90° BG＝DF

，
∴RT△ABG≌RT△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，

AN＝AH ∠MAN＝∠MAH＝45° AM＝AM

，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BFH中，

DF＝BG ∠7＝∠G FN＝GH

，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG-∠6+∠5=90°-45°+45°=90°
∴BM²+DN²=BM²+BH²=MH²=MN²，
在△AEF和△AEG中，

AE＝AE ∠EAF＝∠EAG＝45° AF＝AG

∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EF=EG，
△CEF周长=CE+CF+EF=BC-BE+CD-DF+EF=BC+CD-（BE+BG）+EF=BC+CD-EC+EF=BC+CD-EF+EF=BC+CD．