Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为23，且经过点（2，0），直线y=kx+m与椭圆相交于A，B两点，O为坐

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为23，且经过点（2，0），直线y=kx+m与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设△AOB面积为S，|AB|=2，S=1，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2

3

，且经过点（2，0），
∴a=2，c=

3

，b2 ＝4?3＝1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2＝1．
（2）联立

y＝kx+m x2 4 +y2＝1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
设A（x1 ，y1 ），B（x₂，y₂），则x1+x2＝?

8k

4k2+1

，x1x2＝

4m2?4

4k2+1

，
O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

，
∵△AOB面积为S，|AB|=2，S=1，
∴

1

2

×2×

|m|

k2+1

=1，∴k²+1=m²，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2m2 (1+4k2)2 ? 4(4m2?4) 1+4k2 ]

=

48k2(1+k2)

1+4k2

＝2，
∴4k⁴-4k²+1=0，解得k=±

2

2

，m=±

6

2

，
∴直线AB的方程y=±

2

2

x±

6

2

．