Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PE F沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

Answer 1

（1）设y=a（x+1）（x-3），（1分） 把C（0，3）代入，得a=-1，（2分） ∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3．（4分） 顶点D的坐标为（1，4）．（5分） （2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入， 得 3k+b=0 k+b=4 ，（6分） 解得k=-2，b=6． ∴直线BD解析式为y=-2x+6．（7分） s= 1 2 PE?OE= 1 2 xy= 1 2 x（-2x+6）=-x 2 +3x，（8分） ∴s=-x 2 +3x（1＜x＜3）（9分） s=-（x 2 -3x+ 9 4 ）+ 9 4 =-（x- 3 2 ） 2 + 9 4 ．（10分） ∴当 x= 3 2 时，s取得最大值，最大值为 9 4 ．（11分） （3）当s取得最大值， x= 3 2 ，y=3， ∴ P( 3 2 ，3) ．（5分） ∴四边形PEOF是矩形． 作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F． 法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M． 设MC=m，∵CO ∥ PF， ∴∠2=∠PFC， 由对称可知∠PFC=∠P′FC， ∴∠2=∠P′FC， 则MF=MC=m，P′M=3-m，P′E= 3 2 ． 在Rt△P′MC中，由勾股定理， ( 3 2 ) 2 +(3-m ) 2 = m 2 ． 解得m= 15 8 ． ∵CM?P′H=P′M?P′E， ∴P′H= 9 10 ． 由△EHP′ ∽ △EP′M，可得 EH EP′ = EP′ EM ，EH= 6 5 ． ∴OH=3- 6 5 = 9 5 ． ∴P′坐标 (- 9 10 ， 9 5 ) ．（13分） 法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N． 易证△CMH ∽ △HMP． ∴ CM MH = MH PM = 1 2 ． 设CM=k，则MH=2k，PM=4k． ∴PC=5k= 3 2 ，k= 3 10 ． 由三角形中位线定理，PN=8k= 12 5 ，P′N=4k= 6 5 ． ∴CN=PN-PC= 12 5 - 3 2 = 9 10 ，即x=- 9 10 ． y=PF-P′N=3- 6 5 = 9 5 ∴P′坐标（- 9 10 ， 9 5 ）．（13分） 把P′坐标（- 9 10 ， 9 5 ）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上．（14分）