Question

如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AE

如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）2（ ）

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。 ∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。 在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。 ∴CE=CF。 （2）解：连接AC，交EF于G点， ∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF。 在Rt△AGE中，EG=sin30°AE= ×2=1，∴EC= 。 设BE=x，则AB=BC=x+ ， 在Rt△ABE中，AB 2 +BE 2 =AE 2 ，即（x+ ） 2 +x 2 =4，解得x= （负值舍去）。 ∴AB= 。 ∴正方形ABCD的周长为4AB=2（ ）。 （1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF。 （2）连接AC，交EF与G点，由△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，从而求出正方形的周长。

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=ACAE=AF
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；
（2） 在Rt△EFC中，
CE=CF=2sin45°=
2
，
设正方形ABCD的边长为x，则x2+（x-
2
）2=22，
解得：x=
2±6
2
（负数舍去），
正方形ABCD的周长为：4×
2+6
2
=2
2
+2
6
．