Question

如图， Rt △ ABO 的两直角边 OA 、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， O 为坐标原点， A 、 B

如图， Rt △ ABO 的两直角边 OA 、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， O 为坐标原点， A 、 B 两点的坐标分别为（ ，0）、（0，4），抛物线 经过 B 点，且顶点在直线 上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△ DCE 是由△ ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N ．设点 M 的横坐标为 t ， MN 的长度为 l ．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．

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Answer 1

（1） （2）在，理由略 （3） M 的坐标为（ ， ）

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为   …（1分） ∴ ∴      ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：   …………（4分） （2）在 Rt △ ABO 中， OA =3， OB =4， ∴ ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴ BC = CD = DA = AB ="5   " ……………………………………（5分） ∴ C 、 D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）．  …………（6分） 当 时， 当 时， ∴点 C 和点 D 在所求抛物线上． …………………………（7分） （3）设直线 CD 对应的函数关系式为 ，则 解得： ． ∴        ………（9分） ∵ MN ∥ y 轴， M 点的横坐标为 t ， ∴ N 点的横坐标也为 t ． 则 ，  ，……………………（10分） ∴ ∵ ， ∴当 时， ， 此时点 M 的坐标为（ ， ）． ………………………………（12分）