Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 m + y 2 8-m =1．（1）若椭圆C的

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 m + y 2 8-m =1．（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；（2）若m=6，①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1，0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明： AB FN 是定值，并求出这个定值．

Answer 1

（1）由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8， 所以实数m的取值范围是（4，8）； （2）因为m=6，所以椭圆C的方程为 x 2 6 + y 2 2 =1 ， ①设点P坐标为（x，y），则 x 2 6 + y 2 2 =1 ， 因为点M的坐标为（1，0）， 所以PM 2 =（x-1） 2 +y 2 = x 2 -2x+1+2- x 2 3 = 2 3 x 2 -2x+3 = 2 3 (x- 3 2 ) 2 + 3 2 ， x∈[- 6 ， 6 ] ， 所以当x= 3 2 时，PM的最小值为 6 2 ，此时对应的点P坐标为（ 3 2 ，± 5 2 ）； ②由a 2 =6，b 2 =2，得c 2 =4，即c=2， 从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e= 6 3 ， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB的中点H（x 0 ，y 0 ）， 则 x 1 2 6 + y 1 2 2 =1 ， x 2 2 6 + y 2 2 2 =1 ， 两式相减得， x 1 2 - x 2 2 6 + y 1 2 - y 2 2 2 =0 ，即 k AB = y 1 - y 2 x 1 - x 2 =- x 0 3 y 0 ， 令k=k AB ，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y 0 =- 1 k （x-x 0 ）， 令y=0，则x N =ky 0 +x 0 = 2 3 x 0 ， 因为F（2，0），所以FN=|x N -2|= 2 3 | x 0 -3| ， 因为AB=AF+BF=e（3-x 1 ）+e（3-x 2 ）= 2 6 3 |x 0 -3|． 故 AB FN = 2 6 3 × 3 2 = 6 ，即 AB FN 为定值 6 ．