已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4，5]上有...
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．（1）求c的值；（2）求ba的取值范围；（3）求|AC|的最大值和最小值．
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（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax2+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，则3ax2+2bx=0，
解得x1＝0，x2＝?
．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得
解得?6≤
≤?3．
（3）设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x3-（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
则
，解得
又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
αβ＝4+
从而|AC|＝|α?β|＝
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax2+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，则3ax2+2bx=0，
解得x1＝0，x2＝?
| 2b |
| 3a |
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得
|
| b |
| a |
（3）设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x3-（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
则
|
|
又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
αβ＝4+
| 2b |
| a |
从而|AC|＝|α?β|＝
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