Question

如图，△ABC中AC=BC，D为边AB上的一点，且∠BCD=3∠ACD，O为AC上一点，以O为圆心的⊙O恰好经过C、D两点．

如图，△ABC中AC=BC，D为边AB上的一点，且∠BCD=3∠ACD，O为AC上一点，以O为圆心的⊙O恰好经过C、D两点．（1）求证：直线AB为⊙O的切线；（2）若BD=4，AD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）连接OD，过C作CM⊥AB，如图所示：

∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴CM平分∠ACB，
又∠BCD=3∠ACD，设∠BCD=3x，∠ACD=x，
∴∠ACM=2x，
∴∠DCM=∠ACM-∠ACD=x，
又OC=OD，∴∠ODC=∠ACD=x，
∴∠ODC=∠DCM，
∴OD∥CM，又∠AMC=90°，
∴∠ADO=90°，即OD⊥AD，
∴AB为圆O的切线；

（2）∵CA=CB，又CM⊥AB，
∴M为AB的中点，即AM=BM，
又AD=2，BD=4，
∴AM=

1

2

AB=3，则DM=AM-AD=3-2=1，
过D作DN⊥AC，
∵∠ACD=∠MCD，又DM⊥MC，DN⊥AC，
∴DM=DN=1，
在直角三角形ADN，DM=1，AD=2，
∴∠A=30°，
在直角三角形AOD中，
tanA=

OD

AD

，即tan30°=

OD

2

，
∴OD=2×

3

3

=

2 3

3

．