Question

已知函数f（x）=log31?x1+x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）当x∈[-

已知函数f（x）=log31?x1+x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅲ）当x∈[-12，12]时，函数g（x）=f（x），求函数g（x）的值域．

Answer 1

（I）要使函数f（x）=log₃

1?x

1+x

的解析式有意义，
自变量x须满足：

1?x

1+x

＞0，
解得x∈（-1，1），
故函数f（x）的定义域为（-1，1），
（II）由（I）得函数的定义域关于原点对称，
且f（-x）=log₃

1+x

1?x

=log₃（

1?x

1+x

）^-1=-log₃

1?x

1+x

=-f（x）．
故函数f（x）为奇函数，
（III）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，
令u=

1?x

1+x

，则u′=-

2

(1+x)2

＜0，
故u=

1?x

1+x

在[-

1

2

，

1

2

]上为减函数，
则u∈[

1

3

，3]，
又∵g（x）=f（x）=log₃u为增函数，
故g（x）∈[-1，1]，
故函数g（x）的值域为[-1，1]．