Question

数列{an}的前n项和记作Sn，满足Sn=2an+3n-12 （n∈N*）．（1）求出数列{an}的通项公式；（2）若bn=an(Sn

数列{an}的前n项和记作Sn，满足Sn=2an+3n-12 （n∈N*）．（1）求出数列{an}的通项公式；（2）若bn=an(Sn?3n)(an+1?6) ，求证：b1+b2+…+bn＜16；（3）若cn=an?33n，且1c1+1c2+…+1cn＜loga（6-a）对所有的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）S_n=2a_n+3n-12，S_n-1=2a_n-1+3（n-1）-12  （n≥2）
作差化简得到a_n-2a_n-1+3=0，所以a_n-3=2（a_n-1-3）且a₁=9，
所以a_n-3=6?2^n-1，所以a_n=3?2ⁿ+3
（2）b_n=

an

(Sn?3n)(an+1?6)

=

1

6

(

1

2n?1

?

1

2n+1?1

)，∴b₁+b₂+…+b_n=

1

6

(

1

21?1

?

1

22?1

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1?1

)=

1

6

(

1

21?1

?

1

2n+1?1

)＜

1

6

（3）c_n=

an?3

3n

=

2n

n

，令T_n=

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

错位相减得 Tn＝2?

n+2

2n

，∴T_n＜2  
∵

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

＜log_a（6-a）对所有的正整数n恒成立，∴log_a（6-a）≤2
当0＜a＜1时，6-a≤a²，∴a≥2或a≤-3
当1＜a＜6时，6-a≥a²，∴-3≤a≤2
综上，1≤a≤2．