Question

已知实数a,b,c互不相等,且a+(1/b)=b+(1/c)=c+(1/a),求(a^2)(b^2)(c^2)的值

已知实数a,b,c互不相等,
1 1 1
且 a + --- ＝ b + — ＝ c + --- ，求(a^2)(b^2)(c^2)的值
b c a
如题

Answer 1

法一:
因为a+1/b=b+1/c所以a-b=1/c-1/b即a-b=(b-c)/bc
同理b-c=(c-a)/ac,c-a=(a-b)/ab
所以a-b=(b-c)/bc=(c-a)/abc^2=(a-b)/a^2b^2c^2
又a不等于b不等于c,即a-b不为0
所以a^2b^2c^2=1

法二:
令a+1/b=b+1/c=c+1/a=k
ab+1=kb,
bc+1=kc,------→所以bc=kc-1
ca+1=ka.

由ab+1=kb,
abc+c=kbc=k(kc-1)
abc-k=(k^2-1)c,
同样可以算出，
abc-k=(k^2-1)b,abc-k=(k^2-1)a,
abc-k=(k^2-1)a=(k^2-1)b=(k^2-1)c
因为a,b,c互不相等,
所以k^2-1=0, abc-k=0
k^2=1,abc=k
a^2*b^2*c^2=k^2=1

Answer 2

因为a+1/b=b+1/c所以a-b=1/c-1/b即a-b=(b-c)/bc
同理b-c=(c-a)/ac,c-a=(a-b)/ab
所以a-b=(b-c)/bc=(c-a)/abc^2=(a-b)/a^2b^2c^2
又a不等于b不等于c,即a-b不为0
所以a^2b^2c^2=1